jتعرفوا معنا ما هو#النموذج الرياضي Mathematical model..و هو وصف لملف النظام باستخدام رياضي المفاهيم و لغة.

من فريد ظفور مايو 20, 2021

كيفية عمل نموذج رياضي: 9 خطوات (بالصور) - ومعارف - 2021

لتحليل شيء ما باستخدام “نهج الصندوق الأسود” النموذجي ، سيتم حساب سلوك المنبه / الاستجابة فقط ، لاستنتاج (غير معروف) صندوق. التمثيل المعتاد لهذا نظام الصندوق الأسود هو مخطط تدفق البيانات تتمحور في الصندوق

ال الرسم التخطيطي للدولة إلى عن على م

	0	1
س₁	س₂	س₁
س₂	س₁	س₂

نموذج رياضي Mathematical model
من ويكيبيديا
أ نموذج رياضي هو وصف لملف النظام باستخدام رياضي المفاهيم و لغة. تسمى عملية تطوير نموذج رياضي النمذجة الرياضية. تستخدم النماذج الرياضية في علوم طبيعية (مثل الفيزياء, مادة الاحياء, علوم الأرض, كيمياء) و هندسة التخصصات (مثل علوم الكمبيوتر, الهندسة الكهربائية) ، وكذلك في الأنظمة غير المادية مثل العلوم الاجتماعية (مثل اقتصاديات, علم النفس, علم الاجتماع, العلوم السياسية). تستخدم النماذج الرياضية أيضًا في موسيقى[1], اللغويات[2]و فلسفة (على سبيل المثال ، بشكل مكثف في الفلسفة التحليلية).
قد يساعد النموذج في شرح النظام ودراسة تأثيرات المكونات المختلفة ، ووضع تنبؤات حول السلوك.
عناصر النموذج الرياضي:

يمكن أن تتخذ النماذج الرياضية عدة أشكال ، بما في ذلك أنظمة ديناميكية, النماذج الإحصائية, المعادلات التفاضليةأو لعبة النماذج النظرية. يمكن أن تتداخل هذه الأنواع وغيرها من النماذج ، مع نموذج معين يتضمن مجموعة متنوعة من الهياكل المجردة. بشكل عام ، قد تشمل النماذج الرياضية نماذج منطقية. في كثير من الحالات ، تعتمد جودة المجال العلمي على مدى توافق النماذج الرياضية المطورة من الناحية النظرية مع نتائج التجارب القابلة للتكرار. غالبًا ما يؤدي عدم الاتفاق بين النماذج الرياضية النظرية والقياسات التجريبية إلى تطورات مهمة مع تطوير نظريات أفضل.

في ال العلوم الفيزيائية، النموذج الرياضي التقليدي يحتوي على معظم العناصر التالية:

المعادلات الحاكمة
النماذج الفرعية التكميلية
1. تحديد المعادلات
2. المعادلات التأسيسية
الافتراضات والقيود
1. مبدئي و شروط الحدود
2. القيود الكلاسيكية و المعادلات الحركية

التصنيفات

تتكون النماذج الرياضية عادة من العلاقات و المتغيرات. يمكن وصف العلاقات من خلال العاملين، مثل العوامل الجبرية ، والوظائف ، والعوامل التفاضلية ، إلخ. المتغيرات هي تجريدات للنظام المعلمات من الفائدة ، يمكن أن يكون حدد الكمية. يمكن استخدام العديد من معايير التصنيف للنماذج الرياضية وفقًا لهيكلها:

الخطي مقابل غير الخطي: إذا عرضت جميع العوامل في نموذج رياضي الخطية، يتم تعريف النموذج الرياضي الناتج على أنه خطي. يعتبر النموذج غير خطي بخلاف ذلك. يعتمد تعريف الخطية واللاخطية على السياق ، وقد تحتوي النماذج الخطية على تعبيرات غير خطية فيها. على سبيل المثال ، في ملف نموذج خطي إحصائي، من المفترض أن تكون العلاقة خطية في المعلمات ، ولكنها قد تكون غير خطية في متغيرات التوقع. وبالمثل ، يقال أن المعادلة التفاضلية خطية إذا كان من الممكن كتابتها بخطي العوامل التفاضلية، ولكن لا يزال من الممكن أن تحتوي على تعبيرات غير خطية. في البرمجة الرياضية النموذج ، إذا تم تمثيل الوظائف والقيود الموضوعية بالكامل بواسطة المعادلات الخطية، ثم يعتبر النموذج كنموذج خطي. إذا تم تمثيل واحد أو أكثر من الوظائف أو القيود الموضوعية بامتداد غير خطي المعادلة ، ثم يُعرف النموذج بالنموذج غير الخطي.
يشير الهيكل الخطي إلى أنه يمكن تحلل المشكلة إلى أجزاء أبسط يمكن معالجتها بشكل مستقل و / أو تحليلها على نطاق مختلف وستظل النتائج التي تم الحصول عليها صالحة للمشكلة الأولية عند إعادة تكوينها وإعادة قياسها.
غالبًا ما ترتبط اللاخطية ، حتى في الأنظمة البسيطة إلى حد ما ، بظواهر مثل الفوضى و اللارجعة. على الرغم من وجود استثناءات ، تميل الأنظمة والنماذج غير الخطية إلى أن تكون أكثر صعوبة في الدراسة من الأنظمة والنماذج الخطية. النهج الشائع للمشاكل غير الخطية هو الخطية، ولكن هذا يمكن أن يكون مشكلة إذا حاول المرء دراسة جوانب مثل اللارجعة ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا باللاخطية.
ثابت مقابل ديناميكي: أ ديناميكي نموذج حسابات للتغيرات المعتمدة على الوقت في حالة النظام ، بينما أ ثابتة نموذج (أو الحالة المستقرة) يحسب النظام في حالة توازن ، وبالتالي فهو ثابت زمنيًا. يتم تمثيل النماذج الديناميكية عادةً بواسطة المعادلات التفاضلية أو معادلات الفرق.
صريح مقابل ضمني: إذا كانت جميع معلمات الإدخال للنموذج الكلي معروفة ، ويمكن حساب معلمات الإخراج من خلال سلسلة محدودة من الحسابات ، فيُقال أن النموذج صريح. لكن في بعض الأحيان يكون انتاج المعلمات المعروفة ، والمدخلات المقابلة يجب أن يتم حلها من خلال إجراء تكراري ، مثل طريقة نيوتن (إذا كان النموذج خطيًا) أو طريقة برويدن (إذا كان غير خطي). في مثل هذه الحالة ، يُقال أن النموذج يكون ضمني. على سبيل المثال ، أ محرك نفاثيمكن حساب الخصائص الفيزيائية مثل التوربينات ومناطق الحلق بشكل صريح وفقًا للتصميم دورة الديناميكا الحرارية (معدلات تدفق الهواء والوقود ، والضغوط ، ودرجات الحرارة) في حالة طيران معينة وإعدادات للطاقة ، ولكن لا يمكن حساب دورات تشغيل المحرك في ظروف الطيران الأخرى وإعدادات الطاقة بشكل صريح من الخصائص الفيزيائية الثابتة.
منفصل مقابل مستمر: أ نموذج منفصل يعامل الأشياء على أنها منفصلة ، مثل الجسيمات في أ نموذج جزئي أو الدول في أ نموذج إحصائي؛ بينما أ نموذج مستمر يمثل الكائنات بطريقة مستمرة ، مثل مجال سرعة السائل في تدفقات الأنابيب ودرجات الحرارة والضغوط في المجال الصلب والكهربائي الذي ينطبق بشكل مستمر على النموذج بأكمله بسبب شحنة نقطية.
الحتمية مقابل الاحتمالية (العشوائية): أ حتمية النموذج هو الذي يتم فيه تحديد كل مجموعة من الحالات المتغيرة بشكل فريد من خلال المعلمات في النموذج ومجموعات الحالات السابقة لهذه المتغيرات ؛ لذلك ، فإن النموذج القطعي يؤدي دائمًا بنفس الطريقة لمجموعة معينة من الشروط الأولية. على العكس من ذلك ، في نموذج عشوائي — يسمى عادةً “نموذج إحصائي“- العشوائية موجودة ، ولا يتم وصف الحالات المتغيرة بقيم فريدة ، بل بالأحرى احتمالا التوزيعات.
استنتاجي أو استقرائي أو عائم: النموذج الاستنتاجي هو هيكل منطقي يعتمد على النظرية. ينشأ النموذج الاستقرائي من النتائج التجريبية والتعميم منها. لا يعتمد النموذج العائم على نظرية أو ملاحظة ، ولكنه مجرد استدعاء للبنية المتوقعة. تم انتقاد تطبيق الرياضيات في العلوم الاجتماعية خارج الاقتصاد لنماذج لا أساس لها.^[3] تطبيق نظرية الكارثة في العلم تم وصفه كنموذج عائم.^[4]
إستراتيجية مقابل غير إستراتيجية النماذج المستخدمة في نظرية اللعبة مختلفة بمعنى أنها نموذج وكلاء مع حوافز غير متوافقة ، مثل الأنواع المنافسة أو مقدمي العطاءات في المزاد. تفترض النماذج الإستراتيجية أن اللاعبين هم صناع قرار مستقلون يختارون بعقلانية الإجراءات التي تزيد من وظائفهم الموضوعية. يتمثل التحدي الرئيسي لاستخدام النماذج الإستراتيجية في التحديد والحوسبة مفاهيم الحل مثل توازن ناش. من الخصائص المثيرة للاهتمام للنماذج الإستراتيجية أنها تفصل التفكير حول قواعد اللعبة عن التفكير في سلوك اللاعبين^[5].

اعمال بناء

في اعمال و هندسة، يمكن استخدام النماذج الرياضية لتعظيم ناتج معين. سيتطلب النظام قيد النظر مدخلات معينة. يعتمد النظام الذي يربط المدخلات بالمخرجات على متغيرات أخرى أيضًا: متغيرات القرار, متغيرات حالة, خارجي المتغيرات و المتغيرات العشوائية.

تُعرف متغيرات القرار أحيانًا بالمتغيرات المستقلة. تُعرف المتغيرات الخارجية أحيانًا باسم المعلمات أو الثوابتالمتغيرات ليست مستقلة عن بعضها البعض لأن متغيرات الحالة تعتمد على متغيرات القرار والمدخلات والعشوائية والخارجية. علاوة على ذلك ، تعتمد متغيرات الإخراج على حالة النظام (ممثلة بمتغيرات الحالة).

الأهداف و القيود للنظام ومستخدميه يمكن تمثيلهم كـ المهام من متغيرات الإخراج أو متغيرات الحالة. ال وظائف موضوعية ستعتمد على منظور مستخدم النموذج. اعتمادًا على السياق ، تُعرف الوظيفة الموضوعية أيضًا باسم مؤشر الأداء، حيث إنه يمثل بعض المقاييس التي تهم المستخدم. على الرغم من عدم وجود حد لعدد الوظائف والقيود الموضوعية التي يمكن أن يمتلكها النموذج ، فإن استخدام النموذج أو تحسينه يصبح أكثر انخراطًا (حسابيًا) مع زيادة العدد.

فمثلا، الاقتصاديين غالبا ما تنطبق الجبر الخطي عند الاستخدام نماذج المدخلات والمخرجات. يمكن دمج النماذج الرياضية المعقدة التي تحتوي على العديد من المتغيرات باستخدام ثلاثة أبعاد حيث يمثل رمز واحد عدة متغيرات.

بداهة معلومات

غالبًا ما يتم تصنيف مشاكل النمذجة الرياضية إلى صندوق اسود أو صندوق أبيض موديلات حسب الكمية بداهة معلومات عن النظام متاحة. نموذج الصندوق الأسود هو نظام لا توجد معلومات مسبقة عنه. نموذج الصندوق الأبيض (يسمى أيضًا الصندوق الزجاجي أو الصندوق الشفاف) هو نظام تتوفر فيه جميع المعلومات الضرورية. عمليًا ، توجد جميع الأنظمة في مكان ما بين نماذج الصندوق الأسود والصندوق الأبيض ، لذا فإن هذا المفهوم مفيد فقط كدليل بديهي لتحديد النهج الذي يجب اتباعه.

يُفضل عادةً استخدام أكبر قدر ممكن من المعلومات المسبقة لجعل النموذج أكثر دقة. لذلك ، عادةً ما تُعتبر نماذج الصندوق الأبيض أسهل ، لأنك إذا استخدمت المعلومات بشكل صحيح ، فسيعمل النموذج بشكل صحيح. غالبًا ما تأتي المعلومات المسبقة في أشكال لمعرفة نوع الوظائف المتعلقة بالمتغيرات المختلفة. على سبيل المثال ، إذا صنعنا نموذجًا لكيفية عمل الدواء في نظام بشري ، فإننا نعلم أن كمية الدواء في الدم عادةً ما تكون تتلاشى أضعافا مضاعفة وظيفة. لكننا ما زلنا مع العديد من المعلمات غير المعروفة. ما مدى سرعة تسوس كمية الدواء ، وما هي الكمية الأولية للدواء في الدم؟ لذلك فإن هذا المثال ليس نموذجًا أبيض بالكامل. يجب تقدير هذه المعلمات من خلال بعض الوسائل قبل أن يتمكن المرء من استخدام النموذج.

في نماذج الصندوق الأسود ، يحاول المرء تقدير كل من الشكل الوظيفي للعلاقات بين المتغيرات والمعلمات الرقمية في تلك الوظائف. باستخدام معلومات مسبقة ، يمكن أن ننتهي ، على سبيل المثال ، بمجموعة من الوظائف التي ربما يمكن أن تصف النظام بشكل مناسب. إذا لم تكن هناك معلومات مسبقة ، فسنحاول استخدام وظائف عامة قدر الإمكان لتغطية جميع النماذج المختلفة. النهج المستخدم غالبًا لنماذج الصندوق الأسود هو الشبكات العصبية التي عادة لا تضع افتراضات حول البيانات الواردة. بدلاً من ذلك ، خوارزميات NARMAX (نموذج المتوسط المتحرك غير الخطي التلقائي مع مدخلات eXogenous) التي تم تطويرها كجزء من تحديد النظام غير الخطي^[6] يمكن استخدامها لتحديد مصطلحات النموذج ، وتحديد هيكل النموذج ، وتقدير المعلمات غير المعروفة في وجود ضوضاء مرتبطة وغير خطية. تتمثل ميزة نماذج NARMAX مقارنةً بالشبكات العصبية في أن NARMAX تنتج نماذج يمكن تدوينها وربطها بالعملية الأساسية ، بينما تنتج الشبكات العصبية تقريبًا غير شفاف.

المعلومات الشخصية

في بعض الأحيان يكون من المفيد دمج المعلومات الذاتية في نموذج رياضي. يمكن القيام بذلك على أساس حدس, تجربةأو رأي الخبراء، أو على أساس ملاءمة الشكل الرياضي. إحصائيات بايزي يوفر إطارًا نظريًا لدمج هذه الذاتية في تحليل دقيق: نحدد أ التوزيع الاحتمالي المسبق (والتي يمكن أن تكون ذاتية) ، ثم قم بتحديث هذا التوزيع بناءً على البيانات التجريبية.

مثال على متى يكون مثل هذا النهج ضروريًا هو الموقف الذي يقوم فيه المجرب بثني عملة معدنية قليلاً ورميها مرة واحدة ، مسجلاً ما إذا كانت ستظهر على الوجه ، ثم يتم تكليفه بمهمة التنبؤ باحتمالية ظهور الوجه التالي. بعد ثني العملة ، فإن الاحتمال الحقيقي لظهور العملة المعدنية غير معروف ؛ لذلك سيحتاج المجرب إلى اتخاذ قرار (ربما من خلال النظر إلى شكل العملة المعدنية) حول التوزيع السابق الذي يجب استخدامه. قد يكون دمج مثل هذه المعلومات الشخصية مهمًا للحصول على تقدير دقيق للاحتمال.

تعقيد

بشكل عام ، ينطوي تعقيد النموذج على مفاضلة بين بساطة النموذج ودقته. الحلاقة أوكام هو مبدأ وثيق الصلة بالنمذجة بشكل خاص ، وفكرته الأساسية هي أنه من بين النماذج ذات القدرة التنبؤية المتساوية تقريبًا ، فإن أبسطها هو الأكثر رغبة. بينما يؤدي التعقيد الإضافي عادةً إلى تحسين واقعية النموذج ، إلا أنه يمكن أن يجعل النموذج صعب الفهم والتحليل ، ويمكن أن يتسبب أيضًا في مشاكل حسابية ، بما في ذلك عدم الاستقرار العددي. توماس كون يجادل بأنه مع تقدم العلم ، تميل التفسيرات إلى أن تصبح أكثر تعقيدًا قبل أ نقلة نوعية يقدم تبسيطًا جذريًا.^[7]

على سبيل المثال ، عند نمذجة طيران طائرة ، يمكننا تضمين كل جزء ميكانيكي من الطائرة في نموذجنا ، وبالتالي سنحصل على نموذج شبه أبيض للنظام. ومع ذلك ، فإن التكلفة الحسابية لإضافة مثل هذا القدر الهائل من التفاصيل من شأنها أن تمنع بشكل فعال استخدام مثل هذا النموذج. بالإضافة إلى ذلك ، سيزداد عدم اليقين بسبب نظام شديد التعقيد ، لأن كل جزء منفصل يؤدي إلى قدر من التباين في النموذج. لذلك من المناسب عادة إجراء بعض التقريبات لتقليل النموذج إلى حجم معقول. يمكن للمهندسين في كثير من الأحيان قبول بعض التقديرات التقريبية من أجل الحصول على نموذج أكثر قوة وبساطة. فمثلا، نيوتن الميكانيكا الكلاسيكية هو نموذج تقريبي للعالم الحقيقي. مع ذلك ، نموذج نيوتن كافٍ تمامًا لمعظم مواقف الحياة العادية ، أي طالما أن سرعات الجسيمات أقل بكثير من سرعة الضوء، ونحن ندرس الجسيمات الكبيرة فقط.

لاحظ أن الدقة الأفضل لا تعني بالضرورة نموذجًا أفضل. النماذج الإحصائية عرضة ل overfitting مما يعني أن النموذج مناسب للبيانات أكثر من اللازم وفقد قدرته على التعميم على الأحداث الجديدة التي لم تتم ملاحظتها من قبل.

التدريب والضبط

أي نموذج ليس مجرد مربع أبيض يحتوي على بعض المعلمات التي يمكن استخدامها لملاءمة النموذج مع النظام المقصود وصفه. إذا تم إجراء النمذجة بواسطة ملف شبكة اعصاب صناعية أو غيرها التعلم الالي، تحسين المعلمات يسمى تدريب، في حين يتم استدعاء تحسين النموذج الفائق ضبط وغالبًا ما يستخدم عبر المصادقة.^[8] في النمذجة الأكثر تقليدية من خلال وظائف رياضية محددة صراحة ، غالبًا ما يتم تحديد المعلمات بواسطة منحنى المناسب^{[بحاجة لمصدر]}.

تقييم النموذج

جزء مهم من عملية النمذجة هو تقييم ما إذا كان نموذج رياضي معين يصف نظامًا بدقة أم لا. قد يكون من الصعب الإجابة على هذا السؤال لأنه يتضمن عدة أنواع مختلفة من التقييم.

تناسب البيانات التجريبية

عادةً ما يكون أسهل جزء في تقييم النموذج هو التحقق مما إذا كان النموذج يناسب القياسات التجريبية أو البيانات التجريبية الأخرى. في النماذج ذات المعلمات ، تتمثل الطريقة الشائعة لاختبار هذا الملاءمة في تقسيم البيانات إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين: بيانات التدريب وبيانات التحقق. يتم استخدام بيانات التدريب لتقدير معلمات النموذج. سيتطابق النموذج الدقيق مع بيانات التحقق بشكل وثيق على الرغم من عدم استخدام هذه البيانات لتعيين معلمات النموذج. يشار إلى هذه الممارسة باسم عبر المصادقة في الإحصاء.

تحديد أ قياس يعد قياس المسافات بين البيانات المرصودة والمتوقعة أداة مفيدة لتقييم ملاءمة النموذج. في الإحصاء ، ونظرية القرار ، وبعضها النماذج الاقتصادية، أ فقدان وظيفة يلعب دورًا مشابهًا.

في حين أنه من السهل إلى حد ما اختبار مدى ملاءمة المعلمات ، فقد يكون من الصعب اختبار صلاحية الشكل الرياضي العام للنموذج. بشكل عام ، تم تطوير المزيد من الأدوات الرياضية لاختبار مدى ملاءمة النماذج الإحصائية من النماذج التي تتضمن المعادلات التفاضلية. أدوات من إحصائيات غير معلمية في بعض الأحيان يمكن استخدامها لتقييم مدى ملاءمة البيانات لتوزيع معروف أو للتوصل إلى نموذج عام لا يقوم إلا بالحد الأدنى من الافتراضات حول الشكل الرياضي للنموذج.

نطاق النموذج

يمكن أن يكون تقييم نطاق النموذج ، أي تحديد المواقف التي ينطبق عليها النموذج ، أقل وضوحًا. إذا تم إنشاء النموذج بناءً على مجموعة من البيانات ، يجب على المرء تحديد الأنظمة أو المواقف التي تكون فيها البيانات المعروفة مجموعة “نموذجية” من البيانات.

يتم استدعاء مسألة ما إذا كان النموذج يصف جيدًا خصائص النظام بين نقاط البيانات إقحام، ونفس السؤال عن الأحداث أو نقاط البيانات خارج البيانات المرصودة يسمى استقراء.

كمثال على القيود النموذجية لنطاق النموذج ، في تقييم نيوتن الميكانيكا الكلاسيكيةيمكننا أن نلاحظ أن نيوتن أجرى قياساته بدون معدات متطورة ، لذلك لم يستطع قياس خصائص الجسيمات التي تنتقل بسرعات قريبة من سرعة الضوء. وبالمثل ، لم يقيس حركات الجزيئات والجسيمات الصغيرة الأخرى ، بل يقيس الجسيمات الكبيرة فقط. ليس من المستغرب إذن أن نموذجه لا يستقرئ جيدًا في هذه المجالات ، على الرغم من أن نموذجه كافٍ تمامًا لفيزياء الحياة العادية.

اعتبارات فلسفية

تتضمن العديد من أنواع النمذجة ضمنيًا ادعاءات حول السببية. هذا عادة (ولكن ليس دائمًا) صحيح بالنسبة للنماذج التي تتضمن معادلات تفاضلية. نظرًا لأن الغرض من النمذجة هو زيادة فهمنا للعالم ، فإن صلاحية النموذج لا تعتمد فقط على ملاءمته للملاحظات التجريبية ، ولكن أيضًا على قدرته على الاستقراء للمواقف أو البيانات التي تتجاوز تلك الموصوفة أصلاً في النموذج. يمكن للمرء أن يفكر في هذا على أنه التمايز بين التنبؤات النوعية والكمية. يمكن للمرء أيضًا أن يجادل في أن النموذج لا قيمة له إلا إذا قدم بعض البصيرة التي تتجاوز ما هو معروف بالفعل من التحقيق المباشر للظاهرة قيد الدراسة.

مثال على هذا النقد هو الحجة القائلة بأن النماذج الرياضية لـ نظرية العلف الأمثل لا تقدم رؤية تتجاوز الاستنتاجات المنطقية لـ تطور وغيرها من المبادئ الأساسية لعلم البيئة.^[9]

أهمية في العلوم الطبيعية:

النماذج الرياضية لها أهمية كبيرة في العلوم الطبيعية ، ولا سيما في الفيزياء. جسدي – بدني النظريات يتم التعبير عنها بشكل ثابت تقريبًا باستخدام النماذج الرياضية.

على مر التاريخ ، تم تطوير نماذج رياضية أكثر وأكثر دقة. قوانين نيوتن يصف بدقة العديد من الظواهر اليومية ، ولكن في حدود معينة نظرية النسبية و ميكانيكا الكم لابد من استخدامه.

من الشائع استخدام نماذج مثالية في الفيزياء لتبسيط الأشياء. حبال عديمة الكتلة ، جزيئات نقطية ، غازات مثالية و ال الجسيمات في صندوق من بين العديد من النماذج المبسطة المستخدمة في الفيزياء. يتم تمثيل قوانين الفيزياء بمعادلات بسيطة مثل قوانين نيوتن ، معادلات ماكسويل و ال معادلة شرودنجر. هذه القوانين هي أساس لعمل نماذج رياضية لمواقف حقيقية. العديد من المواقف الحقيقية معقدة للغاية ومن ثم تم تصميمها بشكل تقريبي على جهاز كمبيوتر ، فالنموذج الذي يمكن حسابه من الناحية الحسابية مصنوع من القوانين الأساسية أو من النماذج التقريبية المصنوعة من القوانين الأساسية. على سبيل المثال ، يمكن نمذجة الجزيئات بواسطة المداري الجزيئي النماذج التي هي حلول تقريبية لمعادلة شرودنغر. في هندسة، غالبًا ما تصنع نماذج الفيزياء بطرق رياضية مثل تحليل العناصر المحدودة.

تستخدم النماذج الرياضية المختلفة أشكالًا هندسية مختلفة ليست بالضرورة وصفًا دقيقًا لهندسة الكون. الهندسة الإقليدية يستخدم كثيرًا في الفيزياء الكلاسيكية ، بينما النسبية الخاصة و النسبية العامة هي أمثلة على النظريات التي تستخدم الهندسة التي ليست اقليدية.

بعض التطبيقات

منذ عصور ما قبل التاريخ نماذج بسيطة مثل خرائط و الرسوم البيانية قد استعمل.

غالبًا عندما يحلل المهندسون نظامًا ليتم التحكم فيه أو تحسينه ، فإنهم يستخدمون نموذجًا رياضيًا. في التحليل ، يمكن للمهندسين بناء نموذج وصفي للنظام كفرضية لكيفية عمل النظام ، أو محاولة تقدير كيفية تأثير حدث غير متوقع على النظام. وبالمثل ، عند التحكم في النظام ، يمكن للمهندسين تجربة أساليب تحكم مختلفة في المحاكاة.

يصف النموذج الرياضي عادةً نظامًا بواسطة a جلس المتغيرات ومجموعة المعادلات التي تؤسس العلاقات بين المتغيرات. قد تكون المتغيرات من أنواع عديدة ؛ حقيقة أو عدد صحيح أعداد، منطقي القيم أو سلاسل، فمثلا. تمثل المتغيرات بعض خصائص النظام ، على سبيل المثال ، مخرجات النظام المقاسة غالبًا في شكل إشارات, بيانات التوقيتوالعدادات ووقوع الحدث (نعم / لا). النموذج الفعلي هو مجموعة الوظائف التي تصف العلاقات بين المتغيرات المختلفة.

أمثلة

أحد الأمثلة الشائعة في علوم الكمبيوتر هي النماذج الرياضية للآلات المختلفة ، ومثال على ذلك آلي محدد حتمي (DFA) الذي يتم تعريفه على أنه مفهوم رياضي مجرد ، ولكن نظرًا للطبيعة الحتمية لـ DFA ، يمكن تنفيذه في الأجهزة والبرامج لحل العديد من المشكلات المحددة. على سبيل المثال ، ما يلي هو DFA M بأبجدية ثنائية ، والتي تتطلب أن يحتوي الإدخال على عدد زوجي من 0 ثانية.

ال الرسم التخطيطي للدولة إلى عن على م

م = (س، Σ ، δ ، ف₀, F) أين

س = {س₁, س₂},
Σ = {0 ، 1} ،
ف₀ = س₁,
F = {س₁} و
δ من خلال ما يلي جدول انتقال الدولة:

	0	1
س₁	س₂	س₁
س₂	س₁	س₂

الولاية س₁ يشير إلى وجود عدد زوجي من 0s في الإدخال حتى الآن ، بينما س₂ يدل على رقم فردي. لا يغير الرقم 1 في الإدخال حالة التشغيل الآلي. عندما ينتهي الإدخال ، ستظهر الحالة ما إذا كان الإدخال يحتوي على عدد زوجي من 0s أم لا. إذا كان الإدخال يحتوي على عدد زوجي من 0 ثانية ، م ستنتهي في الدولة س₁، حالة قبول ، لذلك سيتم قبول سلسلة الإدخال.

اللغة التي يتعرف عليها م هل لغة عادية التي قدمها تعبير عادي 1 * (0 (1 *) 0 (1 *)) * ، حيث “*” هو ملف نجم كلاين، على سبيل المثال ، 1 * تشير إلى أي رقم غير سالب (ربما صفر) للرموز “1”.

العديد من الأنشطة اليومية التي تتم بدون تفكير هي استخدامات للنماذج الرياضية. جغرافي إسقاط الخريطة من منطقة من الأرض على سطح مستو صغير هو نموذج يمكن استخدامه لأغراض عديدة مثل التخطيط للسفر.^[10]
نشاط بسيط آخر هو التنبؤ بموضع السيارة من موقعها الأولي واتجاهها وسرعتها ، باستخدام معادلة أن المسافة المقطوعة هي نتاج الوقت والسرعة. يُعرف هذا باسم الحساب الميت عند استخدامها بشكل رسمي أكثر. النمذجة الرياضية بهذه الطريقة لا تتطلب بالضرورة رياضيات رسمية ؛ ثبت أن الحيوانات تستخدم حساب الموتى.^[11]^[12]
تعداد السكان نمو. نموذج بسيط (وإن كان تقريبيًا) للنمو السكاني هو نموذج النمو Malthusian. نموذج النمو السكاني الأكثر واقعية والمستخدم بشكل كبير هو وظيفة لوجستيةوامتداداته.
نموذج لجسيم في مجال محتمل. في هذا النموذج ، نعتبر الجسيم نقطة كتلة تصف مسارًا في الفضاء يتم تشكيله من خلال وظيفة تعطي إحداثياته في الفضاء كدالة للوقت. يتم إعطاء المجال المحتمل بواسطة دالة $V!:mathbb{R}^3!ightarrowmathbb{R}$ والمسار هو دالة $mathbf{r}!:mathbb{R}ightarrowmathbb{R}^3$ ، هو حل المعادلة التفاضلية:

$-frac{mathrm{d}^2mathbf{r}(t)}{mathrm{d}t^2}m=frac{partial V[mathbf{r}(t)]}{partial x}mathbf{hat{x}}+frac{partial V[mathbf{r}(t)]}{partial y}mathbf{hat{y}}+frac{partial V[mathbf{r}(t)]}{partial z}mathbf{hat{z}},$

يمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي: $mfrac{mathrm{d}^2mathbf{r}(t)}{mathrm{d}t^2}=-abla V[mathbf{r}(t)].$ لاحظ أن هذا النموذج يفترض أن الجسيم عبارة عن كتلة نقطية ، ومن المعروف بالتأكيد أنها خاطئة في العديد من الحالات التي نستخدم فيها هذا النموذج ؛ على سبيل المثال ، كنموذج لحركة الكواكب.

نموذج للسلوك العقلاني للمستهلك. في هذا النموذج ، نفترض أن المستهلك يواجه خيارًا ن السلع المسمى 1،2 ، … ،ن كل منها بسعر السوق ص₁, ص₂,…, ص_ن. من المفترض أن يكون لدى المستهلك ملف فائدة ترتيبية وظيفة يو (ترتيبي بمعنى أن علامة الفروق بين اثنين من المرافق فقط ، وليس مستوى كل منفعة ، تكون ذات مغزى) ، اعتمادًا على كميات السلع x₁, x₂,…, x_ن مستهلك. يفترض النموذج كذلك أن المستهلك لديه ميزانية م الذي يستخدم لشراء ناقل x₁, x₂,…, x_ن في مثل هذه الطريقة لتحقيق أقصى قدر يو(x₁, x₂,…, x_ن). تصبح مشكلة السلوك العقلاني في هذا النموذج التحسين الرياضي المشكلة هي:

$max U(x_1,x_2,ldots, x_n)$ تخضع الى: $sum_{i=1}^n p_i x_i leq M.$ $x_{i} geq 0 ; ؛ ؛ forall i in {1, 2, ldots, n }$ تم استخدام هذا النموذج في مجموعة متنوعة من السياقات الاقتصادية ، مثل نظرية التوازن العام لإظهار الوجود و كفاءة باريتو التوازن الاقتصادي.

نموذج استشعار الجار هو نموذج يشرح فطر تشكيل من الفوضى في البداية فطري شبكة الاتصال.
في علوم الكمبيوتر، يمكن استخدام النماذج الرياضية لمحاكاة شبكات الكمبيوتر.
في علم الميكانيكا، يمكن استخدام النماذج الرياضية لتحليل حركة نموذج الصاروخ.